Question

18．已知函数f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D及正实数k，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：
①f（x）=3-$\frac{4}{x}$不可能是k型函数；  
②若函数f（x）=$\frac{（{a}^{2}+a）x-1}{{a}^{2}x}$（a≠0）是1型函数，则n-m的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；  
③若函数f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x是3型函数，则m=-4，n=0．
其中正确说法个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，对题目中的命题进行分析判断即可．

解答 分析：解答：解：对于①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，且f（2）=3-$\frac{4}{2}$=1，f（4）=3-$\frac{4}{4}$=2，
∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，
∴f（x）是$\frac{1}{2}$型函数，∴命题错误；
对于②，y=$\frac{{（a}^{2}+a）x-1}{{a}^{2}x}$（a≠0）是1型函数，
即（a²+a）x-1=a²x²，∴a²x²-（a²+a）x+1=0，
∴方程的两根之差x₁-x₂=$\sqrt{{（\frac{a+1}{a}）}^{2}-\frac{4}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{a}-\frac{3}{{a}^{2}}}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即n-m的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；∴命题正确；
对于③，y=-$\frac{1}{2}$x²+x是3型函数，
即-$\frac{1}{2}$x²+x=3x，解得x=0，或x=-4，
∴m=-4，n=0；∴命题正确；
综上，正确的命题是②③．
故选：C．

点评 本题考查了在新定义下函数的定义域、值域问题以及解方程的问题，是易错题．