Question

18．已知F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，A是其上顶点，且△AF₁F₂是等腰直角三角形，延长AF₂与椭圆C交于另一点B，若△AF₁B的面积为6，则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{2{y}^{2}}{9}$=1．

Answer 1

分析 由△AF₁F₂是等腰直角三角形，可得b=c，可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）．在Rt△ABF₁中，由勾股定理可得：$|A{F}_{1}{|}^{2}$+|AB|²=$|{F}_{2}B{|}^{2}$，|AF₂|=|AF₁|=$\sqrt{2}$b，设|BF₂|=m，则|BF₁|=2a-m=2$\sqrt{2}$b-m，2b²+$（\sqrt{2}b+m）^{2}$=$（2\sqrt{2}b-m）^{2}$，又$\frac{1}{2}|A{F}_{1}||AB|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}b$×$（\sqrt{2}b+m）$=6，联立解出即可得出．

解答 解：∵△AF₁F₂是等腰直角三角形，
∴b=c，
可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）．
在Rt△ABF₁中，由勾股定理可得：$|A{F}_{1}{|}^{2}$+|AB|²=$|{F}_{2}B{|}^{2}$，
|AF₂|=|AF₁|=$\sqrt{2}$b，设|BF₂|=m，则|BF₁|=2a-m=2$\sqrt{2}$b-m，
代入可得：2b²+$（\sqrt{2}b+m）^{2}$=$（2\sqrt{2}b-m）^{2}$，
又$\frac{1}{2}|A{F}_{1}||AB|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}b$×$（\sqrt{2}b+m）$=6，
联立解得b²=$\frac{9}{2}$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{2{y}^{2}}{9}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{2{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．