Question

7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的非坐标轴上的点，且4k_OA•K_OB+1=0（k_OA，k_OB分别为直线OA，OB的斜率）
（1）证明：x₁²+x₂²，y₁²+y₂²均为定值；
（2）判断△OAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A，B的坐标代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到定值；
（2））△OAB的面积为S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|•sin＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞，由向量的数量积的定义，可得S=$\frac{1}{2}$$\sqrt{|\overrightarrow{OA}{|}^{2}•|\overrightarrow{OB}{|}^{2}-（\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}）^{2}}$，运用向量的坐标运算，化简整理，即可得到定值．

解答 解：（1）证明：由题意可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+y₁²=1，即有y₁²=1-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$；
$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+y₂²=1，即有y₂²=1-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$．
由4k_OA•K_OB+1=0，可得4•$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-1，
即有16y₁²y₂²=x₁²x₂²，
即16（1-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$）（1-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$）=x₁²x₂²，
化简可得x₁²+x₂²=4；
y₁²+y₂²=1，则x₁²+x₂²，y₁²+y₂²均为定值；
（2）△OAB的面积为S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|•sin＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{|\overrightarrow{OA}{|}^{2}•|\overrightarrow{OB}{|}^{2}-（\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}）^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}）（{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）-（{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}（1-\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}）+{{x}_{2}}^{2}（1-\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}）+\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}$=1．
故△OAB的面积为定值1．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，直线的斜率公式的运用和三角形的面积的求法，注意运用向量的数量积，考查化简整理的运算能力，属于中档题．