Question

6．设函数f（x）=lg（x²-3x）的定义域为集合A，函数$g（x）=\sqrt{-{x^2}+4ax-3{a^2}}$的定义域为集合B（其中a∈R，且a＞0）．
（1）当a=1时，求集合B；
（2）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数$g（x）=\sqrt{-{x^2}+4ax-3{a^2}}$=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$，令-x²+4x-3≥0，解出其定义域为集合B=[1，3]．
（2）当a＞0时，由-x²+4ax-3a²≥0，化为x²-4ax+3a²≤0，解得B=[a，3a]．函数f（x）=lg（x²-3x），由x²-3x＞0，解得定义域为集合A=（-∞，0）∪（3，+∞），利用A∩B≠∅，即可得出．

解答 解：（1）函数$g（x）=\sqrt{-{x^2}+4ax-3{a^2}}$=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$，令-x²+4x-3≥0，化为x²-4x+3≤0，解得1≤x≤3，
其定义域为集合B=[1，3]．
（2）当a＞0时，由-x²+4ax-3a²≥0，化为x²-4ax+3a²≤0，解得a≤x≤3a．
∴B=[a，3a]．
函数f（x）=lg（x²-3x），由x²-3x＞0，解得x＜0，或x＞3，可得定义域为集合A=（-∞，0）∪（3，+∞），
∵A∩B≠∅，所以3a＞3，解得a＞1．

点评 本题考查了函数的定义域、不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．