Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一点．
（Ⅰ）若AD=3OD，求证：CD∥平面PBO；
（Ⅱ）若PD=AB=BC=1，求二面角C-PD-A的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出四边形BCDO为平行四边形，由此能证明CD∥平面PBO．
（Ⅱ）以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，过点A垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-PD-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵AD=3BC，BC∥AD，
∴OD

∥

.

BC，∴四边形BCDO为平行四边形，
∴CD∥BO，又BO?平面PBO，CD不包含于平面PBO，
∴CD∥平面PBO．
（Ⅱ）解：如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴，
AD所在直线为y轴，过点A垂直于平面ABCD的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意得：A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，3，0），
在Rt△PAD中，斜边AD=3BC=3，又直角边PD=1，
由勾股定理得AP=2

2

，由直角三角形面积相等，
得点P的竖坐标zP=

AP•PD

AD

=

2 2

3

，yP =

8

3

，
∴P（0，

8

3

，

2 2

3

），
平面PAD的一个法向量

n

=(x，y，z)，

CP

=(-1，

5

3

，

2 2

3

)，

CD

=(-1，2，0)，
设平面CPD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • CP =-x+ 5 3 y+ 2 2 3 z=0 n • CD =-x+2y=0

，取y=1，得

n

=(2，1，

2

4

)，
设二面角C-PD-A的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

AB

，

n

＞|=|

2

1× 82 16

|=

4 82

41

．
∴二面角C-PD-A的余弦值为

4 82

41

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．