Question

已知函数f（x）=lnx-x
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若不等式af(x)≥x-

1

2

x2在x∈（0，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）n∈N^*，求证：

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

ln(n+1)

＞

n

n+1

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）af(x)≥x-

1

2

x2即Q(x)=

1

2

x2+aInx-(a+1)x≥o成立，求导数，分类讨论，求出函数的最小值，即可求实数a的取值范围；
（Ⅲ）先证明lnx≤x²-x（x=1取等号），可得当x＞1时，

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

(x-1)x

=

1

x-1

-

1

x

，令x=2，3，4，…，相加可得结论．

解答： 解：（I）∵f（x）=lnx-x，
∴f′(x)=

1-x

x

，
∴f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）；---------------（4分）
（II）af(x)≥x-

1

2

x2即Q(x)=

1

2

x2+aInx-(a+1)x≥o成立，
Q′(x)=x+

a

x

-(a+1)=

(x-a)(x-1)

x

①若a≤0时，Q'（x）在（0，1）小于0，Q（x）递减；Q'（x）在（1，+∞）大于0，Q（x）递增
∴Q(1)=

1

2

-(a+1)≥0，解得a≤-

1

2

，
又a≤0，故a≤-

1

2

②若0＜a≤1时，Q'（x）=0解得x=a或x=1，列表如下

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
Q'（x）	+	0	-	0	+
Q（x）	增		减		增

又Q(1)=

1

2

-(a+1)＜0，故不满足要求
③若a＞1时，Q'（x）=0解得x=a或x=1，列表如下

x	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，+∞）
Q'（x）	+	0	-	0	+
Q（x）	增		减		增

同理Q(1)=

1

2

-(a+1)＜0，故也不满足要求
综合上述，要使不等式af(x)≥x-

1

2

x2在x∈（0，+∞）内恒成立，则实数a的取值范围为a∈(-∞，-

1

2

]-------------------（10分）
（ III）由（ II）知当a=-

1

2

时，Q(x)=

1

2

x2-

1

2

Inx-

1

2

x≥o
即lnx≤x²-x（x=1取等号）
∴当x＞1时，

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

(x-1)x

=

1

x-1

-

1

x

令x=2，3，4，…，则有

1

ln2

＞1-

1

2

，

1

ln3

＞

1

2

-

1

3

，

1

ln4

＞

1

3

-

1

4

，…，

1

ln(n+1)

＞

1

n

-

1

n+1

相加得

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

ln(n+1)

＞1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

--------（14分）

点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确求导是关键．