Question

10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b²+c²=2，则△ABC的面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由已知及基本不等式可得bc≤1，又由sinA≤1，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵sinA≤1，（当且仅当A=$\frac{π}{2}$时，等号成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$bc，（当且仅当A=$\frac{π}{2}$时，等号成立），
又∵b²+c²=2≥2bc，可得：bc≤1，（当且仅当b=c时，等号成立）
∴当b=c，A=$\frac{π}{2}$时，S_△ABC≤$\frac{1}{2}$．
则△ABC的面积的最大值为$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．