Question

15．当直线（sin²α）x+（2cos²α）y-1=0（0＜α＜$\frac{π}{2}$）与两坐标轴围成的三角形面积最小时，α等于（　　）

• A． 正切值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的一个锐角
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 根据直线方程分别令x=0、y=0求出对应的y和x，由三角形的面积公式写出表达式，由二倍角的正弦公式化简，根据α的范围和正弦函数的最值，求出三角形面积最小时α的值．

解答 解：由题意得，（sin²α）x+（2cos²α）y-1=0（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
令x=0得，y=$\frac{1}{2co{s}^{2}α}$；令y=0得，x=$\frac{1}{si{n}^{2}α}$，
∴直线与两坐标轴围成的三角形面积S=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2co{s}^{2}α}×\frac{1}{si{n}^{2}α}$=$\frac{1}{si{n}^{2}（2α）}$，
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，∴0＜2α＜π，则sin2α的最大值是1，
此时2α=$\frac{π}{2}$，即 $α=\frac{π}{4}$，三角形的面积S=$\frac{1}{si{n}^{2}（2α）}$取到最小值是1，
故选C．

点评 本题考查了由直线一般式方程求出在x、y轴上的截距，二倍角的正弦公式、正弦函数的最值问题，考查化简、变形能力，属于中档题．