Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC交BD于点O，PD=PC=$\sqrt{2}$，PB=2，M为PB的中点．
（1）求证：BD⊥平面AMC；
（2）求二面角M-BD-C平面角的大小．

Answer 1

分析 （1）连结OM，推导出BD⊥AC，BD⊥OM，由此能证明BD⊥平面AMC．
（2）由MO⊥BD，CO⊥BD，得∠MOC是二面角M-BD-C的平面角，由此能求出二面角M-BD-C平面角．

解答 证明：（1）连结OM，
∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC交BD于点O，
PD=PC=$\sqrt{2}$，PB=2，M为PB的中点，
∴BD⊥AC，且O是BD中点，∴OM∥PD，
BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴BD²+PD²=PB²，∴BD⊥PD，∴BD⊥OM，
∵AC∩OM=O，∴BD⊥平面AMC，
解：（2）∵MO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠MOC是二面角M-BD-C的平面角，
∵M为PB的中点，O是BD中点，∴MO=$\frac{1}{2}PD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
CO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}\sqrt{1+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
cos∠PBC=$\frac{P{B}^{2}+B{C}^{2}-P{C}^{2}}{2×PB×BC}$=$\frac{B{M}^{2}+B{C}^{2}-M{C}^{2}}{2×BM×BC}$，
∴$\frac{4+1-2}{2×2×1}$=$\frac{1+1-M{C}^{2}}{2×1×1}$，解得MC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴MO=CO=MC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠MOC=60°，
∴二面角M-BD-C平面角为60°．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的平面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．