Question

18．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-10≥0}\\{x-y-6≤0}\\{x+3y-6≤0}\end{array}\right.$表示的平面区域为D，若函数y=log_ax（a＞0且a≠1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数y=log_ax（a＞0且a≠1）的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
若0＜a＜1，则由图象可知点B在对数函数的图象或图象的下面，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-10=0}\\{x-y-6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-2}\end{array}\right.$，即B（4，-2），
此时满足log_a4≥-2，
解得0＜a≤$\frac{1}{2}$．
若a＞1，当A在对数函数的图象或图象的上方时，满足条件，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-10=0}\\{x+3y-6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（3，1），
此时满足log_a3≤1，解得a≥3，
综上0＜a≤$\frac{1}{2}$或a≥3．
∴实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]∪[3，+∞），
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$]∪[3，+∞）．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用对数函数的图象和性质，通过数形结合是解决本题的关键．