Question

1．已知直线l：y=k（x+2），曲线$Γ：\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}-y=0$，则当k∈[-1，1]，直线l与曲线Γ有两个交点的概率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{8}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{6}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由题意，直线l：y=k（x+2）过定点（-2，0），曲线$Γ：\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}-y=0$，即（x-1）²+y²=1（y≥0），表示以（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，求出直线l与曲线Γ有两个交点的充要条件，以长度为测度，即可求出概率．

解答 解：由题意，直线l：y=k（x+2）过定点（-2，0），曲线$Γ：\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}-y=0$，即（x-1）²+y²=1（y≥0），表示以（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，
直线与半圆相切时，k=$\frac{1}{\sqrt{9-1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴直线l与曲线Γ有两个交点的充要条件为0＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴所求概率P=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}-0}{1-（-1）}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$，
故选A．

点评 本题考查概率知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定直线l与曲线Γ有两个交点的充要条件是关键．