Question

已知向量

a

=（sinωx，2cosωx），

b

=（sinωx+

3

cosωx，cosωx）（ω＞0），函数f（x）=

a

•

b

-1，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（I）求ω的值；
（Ⅱ）设△ABC的三边a、b、c所对应的角分别A、B、C，若f（

π

6

+

C

2

）=

5

4

，且a=1，c=

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（I）由两向量的坐标，利用平面向量数量积运算列出f（x）解析式，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数，根据题意得出函数的最小正周期，利用周期公式即可求出ω的值；
（Ⅱ）由第一问确定出的f（x）解析式，根据f（

π

6

+

C

2

）=

5

4

，求出cosC与sinC的值，再由a与c，cosC的值，利用余弦定理求出b的值，最后由a，b，sinC的值，利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积．

解答： 解：（I）∵向量

a

=（sinωx，2cosωx），

b

=（sinωx+

3

cosωx，cosωx）（ω＞0），
∴f（x）=

a

•

b

-1=sin²ωx+

3

sinωxcosωx+2cos²ωx-1=

1

2

（1-cos2ωx）+

3

2

sin2ωx+cos2ωx=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，
∵函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

，
∴T=π，即

2π

2ω

=π，
∴ω=1；
（Ⅱ）由ω=1，得到f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∴f（

π

6

+

C

2

）=sin（C+

π

2

）+

1

2

=cosC+

1

2

=

5

4

，即cosC=

3

4

，
∴sinC=

1-cos2C

=

7

4

，
∵a=1，c=

2

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即2=1+b²-

3

2

b，
整理得：2b²-3b-2=0，即（2b+1）（b-2）=0，
解得：b=-

1

2

（舍去）或b=2，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

7

4

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．