题目内容
已知：cotA+cotB+cotC=
，A+B+C=π．求证：A=B=C=
．
| 3 |
| π |
| 3 |
考点：三角函数恒等式的证明
专题：推理和证明
分析：依题意得cotA+cotB-
=
，令cotA+cotB=x，cotAcotB=y，可得y=x2-
x+1，cotA，cotB是t2-xt+x2-
x+1=0的两根，利用韦达定理及一元二次方程有根的条件，可求得△=0，从而可得A=B=
，得到结论．
| cotAcotB-1 |
| cotA+cotB |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：
证明：因为cotA+cotB+cotC=cotA+cotB-cot（A+B）=cotA+cotB-
=
，
令cotA+cotB=x，cotAcotB=y，
则y=x2-
x+1，
cotA，cotB是t2-xt+x2-
x+1=0的两根，
所以又△=x2-4x2+4
x-4=-（
x-2）2≥0得：（
x-2）2≤0，又（
x-2）2≥0，
所以，（
x-2）2=0，解得：x=
，y=
，此时cotA=cotB，
即cotA=cotB=
，cotAcotB=
，
所以A=B=
，
所以，此三角形为正三角形，即A=B=C=
．
| cotAcotB-1 |
| cotA+cotB |
| 3 |
令cotA+cotB=x，cotAcotB=y，
则y=x2-
| 3 |
cotA，cotB是t2-xt+x2-
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所以又△=x2-4x2+4
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
所以，（
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2
| ||
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| 1 |
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即cotA=cotB=
| ||
| 3 |
| 1 |
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所以A=B=
| π |
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所以，此三角形为正三角形，即A=B=C=
| π |
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点评：本题考查三角函数恒等式的证明，考查诱导公式与两角和的余切公式的应用，考查构造函数思想与韦达定理的应用，属于难题．
练习册系列答案
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=
+λ（
sinB+
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| OP |
| OA |
| AB |
| AC |
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