Question

4．函数f（x）=|x-1|+|x-2a|．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≤3；
（2）若不等式f（x）≥3a²对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，原不等式等价于|x-1|+|x-2|≤3，利用数轴及绝对值的几何意义知0≤x≤3，即可得出结论；
（2）不等式f（x）≥3a²对任意x∈R恒成立，即|2a-1|≥3a²，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，原不等式等价于|x-1|+|x-2|≤3，利用数轴及绝对值的几何意义知0≤x≤3，
即不等式f（x）≤3的解集为[0，3]；…（5分）

（2）∵|x-1|+|x-2a|≥|2a-1|，∴|2a-1|≥3a²，即$\left\{{\begin{array}{l}{a≥\frac{1}{2}}\\{2a-1≥3{a^2}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{a＜\frac{1}{2}}\\{1-2a≥3{a^2}}\end{array}}\right.$，解得$-1≤a≤\frac{1}{3}$，
所以a的取值范围是$[-1，\frac{1}{3}]$．…（10分）

点评 本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．