Question

5．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为正三角形，E、F分别是BC、CC₁的中点．
（1）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）若D为AB中点，∠CA₁D=30°且AB=4，设三棱锥F-AEC的体积为V₁，三棱锥F-AEC与三棱锥A₁-ACD的公共部分的体积为V₂，求V₁-V₂的值．

Answer 1

分析 （1）由直棱柱可得BB₁⊥平面ABC，得出BB₁⊥AE，由等边三角形性质可得AE⊥BC，故而AE⊥平面BCC₁B₁，于是平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）由（1）的证明同理可得CD⊥平面ABB₁A₁，故而CD⊥A₁D，∴A₁D=CD，利用勾股定理求出AA₁从而得出棱锥的高CF，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 解：（1）证明：如图，因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以AE⊥BB₁．
又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∩BB₁=B，
所以AE⊥平面B₁BCC₁，而AE?平面AEF，
所以平面AEF⊥平面B₁BCC₁．…（4分）
（2）解：因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB．
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以CD⊥AA₁．
所以CD⊥平面A₁ABB₁，所以CD⊥A₁D．
由题可知，∠CA₁D=30°，所以A₁D=$\sqrt{3}$CD=$\frac{3}{2}$AB=6．
在Rt△AA₁D中，AA₁=$\sqrt{{A}_{1}{D}^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{36-4}=4\sqrt{2}$，所以FC=$\frac{1}{2}$AA₁=2$\sqrt{2}$．
故三棱锥F-AEC的体积V₁=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$    …（8分）
设A₁C∩AF=G，AE∩CD=O，
过G作GH⊥AC于H，连接OG．
∵△A₁GA∽△CGF，∴$\frac{CG}{{A}_{1}G}=\frac{CF}{{A}_{1}A}=\frac{1}{2}$
∴$GH=\frac{1}{3}A{A}_{1}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$．…（9分）
∴$OD=\frac{1}{2}OC$
∴${{S}_{△}}_{AOC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．…（10分）
三棱锥F-AEC与三棱锥A₁-ACD的公共部分为三棱锥G-AOC，…（11分）
V₂=$\frac{1}{3}×\frac{4\sqrt{2}}{3}×\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{16\sqrt{6}}{27}$，
V₁-V₂=$\frac{4\sqrt{6}}{3}-\frac{16\sqrt{6}}{27}=\frac{20\sqrt{6}}{27}$．…（12分）

点评 本题考查了正三棱柱的结构特征，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题