Question

3．北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，期中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行社的人数在30人或30人以下，则每张机票收费800元；若旅行社的人数多于30人，则给予优惠，每多一张，旅行社每张机票减少20元，但旅行社的人数最多不超过45人．
（1）写出旅行社获得的机票利润y（元）与旅行团的人数x（人）之间的函数关系式；
（2）求出当机票利润最大时旅行社的人数，并求出最大利润．

Answer 1

分析 （1）设旅行团的人数为x人，每张机票收费为m元，旅行社获得的机票利润为y，根据条件建立函数关系；
（2）利用分段函数，结合一元二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：（1）设旅行团的人数为x人，每张机票收费为m元，旅行社获得的机票利润为y，
当1≤x≤30且x∈N时，m=800，y=800x-12000
当30＜x≤45且x∈N时，m=800-20（x-30）=1400-20x，y=（1400-20x）x-12000=-20x²+1400-12000，
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{800x-12000（1≤x≤30且x∈N）}\\{-20{x}^{2}+1400x-12000（30＜x≤45且x∈N）}\end{array}\right.$．
（2）当1≤x≤30且x∈N时，y_max=800×30-12000=12000元
当30＜x≤45且x∈N时，当x=35时，y_max=12500元
所以当旅行社人数为35时，旅行社可获得最大利润，最大利润12500元．

点评 本题考查函数的应用问题，考查函数的最大值的应用，根据条件建立函数关系，利用一元二次函数的最值性质是解决本题的关键．