Question

16．已知$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}）$的图象的一部分如图所示．
（1）求f（x）解析式；
（2）当$x∈[-6，-\frac{2}{3}]$时，求y=f（x）+f（x+2）的最大、最小值及相应的x值．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用三角恒等变换化简y=f（x）+f（x+2）的解析式，再利用余弦函数的最值，

解答 解：（1）根据已知$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}）$的图象的一部分，可得A=2，$\frac{T}{2}=4$，∴T=8，$ω=\frac{2π}{T}=\frac{π}{4}$．
把点（1，2）代入函数的解析式，求得sin（$\frac{π}{4}$+φ）=1，可得$ϕ=\frac{π}{4}$，即$f（x）=2sin（\frac{π}{4}x+\frac{π}{4}）$．
（2）由（1）可得$f（x+2）=2sin[\frac{π}{4}（x+2）+\frac{π}{4}]$=$2cos（\frac{π}{4}x+\frac{π}{4}）$，
∴y=f（x）+f（x+2）=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）+2cos（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）=$2\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}x+\frac{π}{4}+\frac{π}{4}）$=$2\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}x+\frac{π}{2}）=2\sqrt{2}cos（\frac{π}{4}x）$，
∵$-6≤x≤-\frac{2}{3}$，∴$-\frac{3π}{2}≤\frac{π}{4}x≤-\frac{π}{6}$，∴①$\frac{π}{4}x=-π$时，即 x=-4时，${y_{min}}=-2\sqrt{2}$；
②$\frac{π}{4}x=-\frac{π}{6}$，即$x=-\frac{2}{3}$时，${y_{max}}=\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值；还考查了三角恒等变换，余弦函数的最值，属于中档题．