Question

13．已知函数f（x）=-2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+1．
（1）求f（x）的最小正周期及单调减区间；
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期以及单调减区间；
（2）求出x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时2x+$\frac{π}{6}$的取值范围，即可得出f（x）的最大值与最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=-2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；---------（2分）
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，-------------（4分）
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$
得：$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$，
∴f（x）的单调减区间为$[\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ]，k∈z$；-----------------（6分）
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，----------------（8分）
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，即-1≤f（x）≤2；------------------（10分）
∴当$2x+\frac{π}{6}=-\frac{π}{6}$，即x=-$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值为-1；---------------（12分）
当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值为2．-----------------（14分）

点评 本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题目．