Question

8．已知奇函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x（x＞0）\\ 0，（x=0）\\{x^2}+mx（x＜0）\end{array}$
（1）在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象，并求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[2a-1，a+1]上单调递增，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当 x＜0时，-x＞0，结合f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x），可得m值，结合二次函数的图象，可得y=f（x）的图象；
（2）由（1）知f（x），由图象可知，f（x）在[-1，1]上单调递增，要使f（x）在[2a-1，a+1]上单调递增，只需$\left\{\begin{array}{l}a+1＞2a-1\\ a+1≤1\\ 2a-1≥-1\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：（1）当 x＜0时，
-x＞0，f（-x）=-（x）²+2（-x）=-x²-2x
又f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）=-x²-2x，
∴f（x）=x²+2x，
∴m=2 
  y=f（x）的图象如图所示：

（2）由（1）知f（x），
由图象可知，f（x）在[-1，1]上单调递增，
要使f（x）在[2a-1，a+1]上单调递增，
只需$\left\{\begin{array}{l}a+1＞2a-1\\ a+1≤1\\ 2a-1≥-1\end{array}\right.$
解之得：a=0．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，数形结合思想，二次函数的图象和性质，难度中档．