Question

5．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC 边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体
（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；
（Ⅱ）若AD=1，AB=$\sqrt{2}$，求点B到平面ADE的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由已知结合面面垂直的性质可得DC⊥平面ABD．进一步得到DC⊥AB．又AD⊥AB，由线面垂直的判定可得AB⊥平面ADC；
（Ⅱ）求解直角三角形可得$BD=\sqrt{3}$．再由△ABD～△BDC，利用比例关系求得$CD=\sqrt{6}$．进一步得到BC=3．可得AE，DE的值，求得三角形ADE的面积，设点B到平面ADE的距离为d，然后利用等积法求B到平面ADE的距离．

解答 （Ⅰ） 证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
又BD⊥DC，∴DC⊥平面ABD．
∵AB?平面ABD，∴DC⊥AB．
又AD⊥AB，DC∩AD=D，
∴AB⊥平面ADC；
（Ⅱ）解：∵AB=$\sqrt{2}$，AD=1，∴$BD=\sqrt{3}$．
依题意△ABD～△BDC，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{CD}{BD}$，即$\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{CD}{\sqrt{3}}$．∴$CD=\sqrt{6}$．
故BC=3．
由于AB⊥平面ADC，AB⊥AC，E为BC的中点，
得$AE=\frac{BC}{2}=\frac{3}{2}$．
同理$DE=\frac{BC}{2}=\frac{3}{2}$．
∴S_△DAE=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵DC⊥平面ABD，∴${V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}$S_△ABD•CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
设点B到平面ADE的距离为d，
则$\frac{1}{3}{S}_{△ADE}•d$=V_B-ADE=V_A-BDE=$\frac{1}{2}{V}_{A-BCD}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴$d=\frac{\sqrt{6}}{2}$，即点B到平面ADE的距离为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．