Question

12．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，∠BCD=90．，BC=CD，AE=BE，ED⊥平面ABCD．
（Ⅰ）若M是AB的中点，求证：平面CEM⊥平面BDE；
（Ⅱ）若N为BE的中点，求证：CN∥平面ADE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ED⊥平面ABCD，可得ED⊥AD，ED⊥BD，由AE=BE，利用三角形全等可得AD=BD．再由M是AB的中点，得DM⊥AB，结合已知可得四边形BCDM是正方形，得BD⊥CM．由线面垂直的判定可得CM⊥平面BDE，从而得到平面CEM⊥平面BDE；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB=2CD，取AE中点G，连接NG，DG，由三角形中位线定理结合已知可得NG=$\frac{1}{2}$AB，再由AB∥CD，且AB=2CD，可得四边形CDGN为平行四边形，由线面平行的判定可得．

解答 证明：（Ⅰ）∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥AD，ED⊥BD，
∵AE=BE，∴△ADE≌△BDE，则AD=BD．
连接DM，则DM⊥AB，
∵AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD，
∴四边形BCDM是正方形，则BD⊥CM．
又DE⊥CM，∴CM⊥平面BDE，
∵CM?平面CEM，∴平面CEM⊥平面BDE；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB=2CD，取AE中点G，连接NG，DG，
在△EBA中，∵N为BE的中点，∴NG∥AB且NG=$\frac{1}{2}$AB，
又AB∥CD，且AB=2CD，∴NG∥CD，且NG=CD，
又四边形CDGN为平行四边形，∴CN∥DG．
又∵CN?平面ADE，DG?平面ADE，
∴CN∥平面ADE．

点评 本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．