Question

函数h（x）=

1

x

-x，若不等式h（x）•h（2k-x）≥（

1

k

-k）²在（0，2k）上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：构造函数f（x）=h（x）•h（2k-x），令y=2k-x，t=xy，则f（x）═

1-4k2

t

+t+2，根据“对勾函数”单调性，将不等式h（x）•h（2k-x）≥（

1

k

-k）²在（0，2k）上恒成立转化为

k2≤ 1-4k2 k＞0 1-4k2＞0

，解不等式组即可求出k的范围．

解答： 解：∵x∈（0，2k）
∴2k-x＞0，
令y=2k-x，则x、y∈R⁺，
∴2k=x+y≥2

xy

，
令t=xy，则0＜t≤k²，
∴f（x）=h（x）•h（2k-x）
=(

1

x

-x)(

1

y

-y)
=

1

xy

+xy-

x2+y2

xy

=

1

xy

+xy-

(x+y)2-2xy

xy

=

1

t

+t-

4k2-2t

t

=

1-4k2

t

+t+2，
当1-4k²≤0时，f（x）无最小值，不合题意；
当1-4k²＞0时，f（x）在（0，

1-4k2

）上递减，在（

1-4k2

，+∞）上递增，
且f（k²）=

1

k2

+k2-2=（

1

k

-k）²，
∴f（x）≥（

1

k

-k）²在（0，2k）上恒成立等价于

k2≤ 1-4k2 k＞0 1-4k2＞0

，
即

0＜k＜ 1 2 k≤ 5 -2

，
解得，0＜k≤

5 -2

，
∴实数k的取值范围是(0，

5 -2

]．

点评：本题考查换元法的灵活应用，转化与化归的技巧，对勾函数的性质，基本不等式等知识与技能的综合应用，解题的关键在于构造恰当的函数，属于难题．