Question

16．已知m＞0，n＞0，且m+n=1，试用分析法证明不等式$（{m+\frac{1}{m}}）•$$（{n+\frac{1}{n}}）≥\frac{25}{4}$成立．

Answer 1

分析 利用分析法，从要证的结论入手，寻找不等式成立的充分条件，直到该条件（被找到）显然成立，从而知原结论成立．

解答 证明：要证$（{m+\frac{1}{m}}）•（{n+\frac{1}{n}}）≥\frac{25}{4}$，
只需证$mn+\frac{{{m^2}+{n^2}+1}}{mn}≥\frac{25}{4}$，
只需证$mn+\frac{2}{mn}-2≥\frac{25}{4}$，
只需证4（mn）²-33mn+8≥0，即证mn≥8或$mn≤\frac{1}{4}$，
而由$1=m+≥2\sqrt{mn}$，可得$mn≤\frac{1}{4}$显然成立，
所以不等式$（{m+\frac{1}{m}}）•（{n+\frac{1}{n}}）≥\frac{25}{4}$成立．

点评 本题考查不等式的证明，着重考查分析法证明不等式，考查推理论证能力，难度中档．