Question

8．AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若 PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由面面垂直的性质证出PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD．在底面梯形ABCD中，利用题中数据算出CD²+AC²=AD²，从而AC⊥CD．最后利用线面垂直的判定定理，即可证出CD⊥平面PAC；
（II）取PD的中点F，连结BE、EF、FC．利用三角形的中位线定理和已知条件BC∥AD且BC=$\frac{1}{2}$AD，证出四边形BEFC为平行四边形，可得BE∥CF．最后利用线面平行判定定理，即可证出BE∥平面PCD．

解答 （Ⅰ）证明：因为∠PAD=90°，∴PA⊥AD．
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA?侧面PAD，
且侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD．
∵CD?底面ABCD，∴PA⊥CD．
在底面 ABCD中，因为∠ABC=∠PAD=90°，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，
所以AC=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，所以 AC⊥CD．
又∵PA、AC是平面PAC内的相交直线，∴CD⊥平面PAC．
（Ⅱ）在PA上存在中点E，使得BE∥平面PCD，
证明如下：设PD的中点为F，连结BE、EF、FC，则
∵EF是△PAD的中位线，∴EF∥AD，且EF=$\frac{1}{2}$AD．
∵BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD，∴BC∥EF，且BC=EF，
∴四边形BEFC为平行四边形，∴BE∥CF．
∵BE?平面PCD，CF?平面PCD，∴BE∥平面PCD．

点评 本题在四棱锥中证明线面垂直，并探索线面平行的存在性．着重考查了空间垂直、平行的位置关系的判断与证明等知识，属于中档题．