Question

11．设非等腰△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，用分析法证明：$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-b}$=$\frac{3}{a-b+c}$．

Answer 1

分析 用分析法证明，结合余弦定理可得结论．

解答 证明：要证明：$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-b}$=$\frac{3}{a-b+c}$，
只要证明$\frac{a+c-2b}{{（{a-b}）（{c-b}）}}$=$\frac{3}{a-b+c}$，
只要证明（a+c-2b）（a-b+c）=3（a-b）（c-b），
只要证明（a+c-b）²-b（a+c-b）=3（ac+b²-bc-ab），
只要证明b²=a²+c²-ac，
只要证明$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$，
只要证明B=60°，
只要证明A、B、C成等差数列，故结论成立．

点评 本题主要考查了等差关系、余弦定理的应用和解三角形问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．