Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{m+1}$-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}+1}$=1的焦点为F₁，F₂，点P在双曲线上，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，则△PF₁F₂的面积的最小值为（　　）

• A． m
• B． m²+1
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由双曲线的方程求出a、b、c和m的范围，由向量的数量积性质和条件得$\overrightarrow{P{F}_{1}}⊥\overrightarrow{P{F}_{2}}$，由勾股定理求出$|P{{F}_{1}|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}$，再由双曲线的定义两边平方后求出$|P{{F}_{1}|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}$，联立方程后求出|PF₁||PF₂|的值，即可求出△PF₁F₂的面积的最小值．

解答 解：由题意得，m²+1＞0，
所以双曲线的焦点在x轴上，且m+1＞0，则m＞-1，
则a²=m+1，b²=m²+1，所以c²=a²+b²=m²+m+2，
因为$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，所以$\overrightarrow{P{F}_{1}}⊥\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
则$|P{{F}_{1}|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}$=|${F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$=4c²，
由||PF₁|-|PF₂||=2a得，$|P{{F}_{1}|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=4{a}^{2}$，
所以$|P{{F}_{1}|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|+4{a}^{2}$，
则4c²=2|PF₁||PF₂|+4a²，即|PF₁||PF₂|=2（c²-a²）=2b²，
所以△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|$=b²=m²+1，
因为m＞-1，所以当m=0时△PF₁F₂的面积取到最小值是1，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，向量的数量积性质，以及化简、变形能力，属于中档题．