Question

8．《中国梦想秀》是浙江卫士推出的一档“真人秀”综艺节目，节目开播至今，有上百组的追梦人在这个舞台上实现了自己的梦想，某机构随机抽取100名参与节目的选手，以他们的年龄作为样本进行分析研究，并根据所得数据作出如下频数分布表：

选手年龄	[5，15）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65]
频数	6	22	32	24	10	6

（Ⅰ）在表中作出这些数据的频率分布直方图；
（Ⅱ）已知样本中年龄在[55，65]内的6位选手中，有4名女选手，2名男选手，现从中选3人进行回访，记选出的女选手的人数为X，求X的分布列、数学期望与方差．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件作出频率分布表，由此能作出频率分布直方图．
（2）由题意X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列、数学期望与方差．

解答 解：（Ⅰ）由已知条件作出频率分布表：

选手年龄	[5，15）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）
频数	6	22	32	24	10	6
频率	0.06	0.22	0.32	0.24	0.1	0.06

由频率分布表，作出频率分布直方图，如右图．
（2）∵样本中年龄在[55，65]内的6位选手中，有4名女选手，2名男选手，现从中选3人进行回访，记选出的女选手的人数为X，
∴X的可能取值为1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{20}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{12}{20}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{20}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{4}{20}$	$\frac{12}{20}$	$\frac{4}{20}$

数学期望EX=$1×\frac{4}{20}+2×\frac{12}{20}+3×\frac{4}{20}$=2，
方差DX=$（1-2）^{2}×\frac{4}{20}+（2-2）^{2}×\frac{12}{20}$+$（3-2）^{2}×\frac{4}{20}$=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的作法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．