Question

已知a∈R，函数m（x）=x²，n（x）=aln（x+2）．
（Ⅰ）令f（x）=

m(x)，x≤0 n(x)，x＞0

，若函数f（x）的图象上存在两点A、B满足OA⊥OB（O为坐标原点），且线段AB的中点在y轴上，求a的取值集合；
（Ⅱ）若函数g（x）=m（x）+n（x）存在两个极值点x₁、x₂，求g（x₁）+g（x₂）的取值范围．

Answer 1

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）不妨设A（t，aln（t+2）），B（-t，t²），利用OA⊥OB，再分离参数，即可求a的取值集合；
（Ⅱ）函数g（x）=m（x）+n（x）存在两个极值点x₁、x₂，g′（x）=0，即2x²+4x+a=0在（-2，+∞）上存在两个不等的实根，可得0＜a＜2，x₁+x₂=-2，x₁x₂=

a

2

，表示出g（x₁）+g（x₂），确定其单调性，即可求g（x₁）+g（x₂）的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，不妨设A（t，aln（t+2）），B（-t，t²）（t＞0）
∴OA⊥OB，
∴-t²+at²ln（t+2）=0，
∴a=

1

ln(t+2)

，
∵ln（t+2）∈（ln2，+∞），
∴a的取值集合为（0，

1

ln2

）；
（Ⅱ）g（x）=m（x）+n（x）=x²+aln（x+2），
∴g′（x）=

2x2+4x+a

x+2

，
∵函数g（x）=m（x）+n（x）存在两个极值点x₁、x₂，
∴g′（x）=0，即2x²+4x+a=0在（-2，+∞）上存在两个不等的实根，
令p（x）=2x²+4x+a，
∴△=16-8a＞0且p（-2）＞0，
∴0＜a＜2，
∵x₁+x₂=-2，x₁x₂=

a

2

，
∴g（x₁）+g（x₂）=x₁²+aln（x₁+2）+x₂²+aln（x₂+2）
=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+aln[x₁x₂+2（x₁+x₂）+4]
=aln

a

2

-a+4
令q（x）=xln

x

2

-x+4，x∈（0，2），
∴q′（x）=ln

x

2

＜0，
∴q（x）在（0，2）上单调递减，
∴2＜aln

a

2

-a+4＜4
∴g（x₁）+g（x₂）的取值范围是（2，4）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查韦达定理，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，属于中档题．