题目内容
设f（x）=sinx+sin（x+
）-cos（x+
），x∈[0，2π]．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调区间，
（Ⅱ）若锐角△ABC中，f（A）=
，a=2，b=
，求角C及边c．
| π |
| 6 |
| 4π |
| 3 |
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调区间，
（Ⅱ）若锐角△ABC中，f（A）=
| 2 |
| 6 |
考点：余弦定理的应用,三角函数的周期性及其求法
专题：
分析：（Ⅰ）f（x）解析式的后两项利用两角和与差的正弦函数、余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到结果，代入周期公式即可求出最小正周期，通过函数的单调区间求出函数的单调区间；
（Ⅱ）由f（A），求出A的值，利用正弦定理以及余弦定理即可求C与c的值．
（Ⅱ）由f（A），求出A的值，利用正弦定理以及余弦定理即可求C与c的值．
解答：
解：（Ⅰ）f（x）=sinx+sin（x+
）-cos（x+
）
=sinx+
sinx+
cosx+
cosx-
sinx
=sinx+cosx
=
sin(x+
)
∴函数f（x）的最小正周期：2π；
∵x∈[0，2π]．∴x+
∈[
，
]．
当x+
∈[
，
]，即x∈[0，
]时，函数f（x）为单调增函数；
当x+
∈[
，
]，即x∈[
，
]时函数是减函数；
当x+
∈[
，
]，即x∈[
，2π]时，函数f（x）为单调增函数；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，f（A）=
，∴
sin(A+
)=
，
∴sin(A+
)=1，∴A=
，
∵a=2，b=
，
由
=
，∴sinB=
=
，∴B=
，
∴C=π-
-
=
，
由余弦定理可知a2=c2+b2-2cbcosA，
可得c2-2
c+2=0，解得C=
-1或c=
+1．
∵C-A=
-
=
＞0
∴c＞a，
故c=
+1．
| π |
| 6 |
| 4π |
| 3 |
=sinx+
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=sinx+cosx
=
| 2 |
| π |
| 4 |
∴函数f（x）的最小正周期：2π；
∵x∈[0，2π]．∴x+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 9π |
| 4 |
当x+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
当x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
当x+
| π |
| 4 |
| 3π |
| 2 |
| 9π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
（Ⅱ）在锐角△ABC中，f（A）=
| 2 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
∴sin(A+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∵a=2，b=
| 6 |
由
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| bsinA |
| a |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
∴C=π-
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 12 |
由余弦定理可知a2=c2+b2-2cbcosA，
可得c2-2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∵C-A=
| 5π |
| 12 |
| π |
| 3 |
| π |
| 12 |
∴c＞a，
故c=
| 3 |
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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