Question

已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，

m

=（b，c），

n

=（cosC，cosB）且

m

•

n

=-2acosA，（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=2

3

，△ABC的面积为

3

，求b，c．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，以及两向量的数量积运算法则列出关系式，整理求出cosA的值，即可求出角A的度数；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入得到关系式，利用三角形面积公式列出关系式，把sinA的值代入求出bc的值，联立即可求出b与c的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（b，c），

n

=（cosC，cosB），且

m

•

n

=-2acosA，
∴bcosC+ccosB=-2acosA，
利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=-2sinAcosA，
∵sinA≠0，∴cosA=-

1

2

，
则A=

2π

3

；
（Ⅱ）∵a=2

3

，cosA=-

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=12=b²+c²-2bccosA，即b²+c²+bc=12①，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3

，
∴bc=4②，
联立①②，解得：b=c=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．