Question

5．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知c=5，B=$\frac{2π}{3}$，△ABC的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，则cos2A=$\frac{71}{98}$．

Answer 1

分析 根据△ABC的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，求得a的值，利用余弦定理求得b的值，再利用正弦定理求得sinA的值，由二倍角的余弦求得cos2A的值．

解答 解：△ABC中，∵已知c=5，B=$\frac{2π}{3}$，△ABC的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{1}{2}•a•5•\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴a=3．
由余弦定里可得b=$\sqrt{{a}^{2}{+c}^{2}-2ac•cosB}$=$\sqrt{9+25-2•3•5•（-\frac{1}{2}）}$=7，
再由正弦定理可得$\frac{b}{sinB}$=$\frac{a}{sinA}$，即$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{3}{sinA}$，∴sinA=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
则cos2A=1-2•$\frac{27}{196}$=$\frac{142}{196}$=$\frac{71}{98}$，
故答案为：$\frac{71}{98}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，二倍角的余弦公式，属于基础题．