Question

已知不等式a2x2-(2

6

-1)x-

6

-lne≥0（0＜a＜1，e为自然对数的底数）的解集为D，函数f（x²-3）=ln

x2+1

x2+6

，x∈D．
（1）求出f（x）的解析式和定义域；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明你的结论．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由指数函数的单调性解出不等式，得到解集D，再由换元法，求出f（x）的解析式和定义域；
（2）运用函数的单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤．

解答： 解：（1）不等式a2x2-(2

6

-1)x-

6

-lne≥0（0＜a＜1）
等价于式a2x2-(2

6

-1)x-

6

≥a⁰（0＜a＜1），
又0＜a＜1，∴2x2-（2

6

-1）x-

6

≤0，解得-

1

2

≤x≤

6

．
∴D=[-

1

2

，

6

]．又f（x²-3）=ln

x2+1

x2+6

，x∈D，
令t=x²-3，则x²=t+3，由于x∈D，∴t∈[-3，3]，
∴f（t）=ln

t+4

t+9

，∴f（x）=ln

x+4

x+9

，x∈[-3，3]，
（2）f（x）在[-3，3]上是单调递增函数．
理由如下：任取m，n∈[-3，3]，且m＜n，
则f（m）-f（n）=ln

m+4

m+9

-ln

n+4

n+9

=ln

(m+4)(n+9)

(n+4)(m+9)

，
由于（m+4）（n+9）-（n+4）（m+9）=5（m-n）＜0，
则（m+4）（n+9）＜（n+4）（m+9），
又（m+4）（n+9）＞0，（n+4）（m+9）＞0，
则0＜

(m+4)(n+9)

(n+4)(m+9)

＜1，
则f（m）-f（n）=ln

(m+4)(n+9)

(n+4)(m+9)

＜0，
即f（m）＜f（n）
∴f（x）在[-3，3]上是单调递增函数．

点评：本题考查函数的解析式的求法：换元法，考查函数的单调性的判断和证明，考查运算能力，属于中档题．