Question

已知函数f（θ）=-sin²θ-4cosθ+4，g（θ）=m•cosθ
（1）对任意的θ∈[0，

π

2

]，若f（θ）≥g（θ）恒成立，求m取值范围；
（2）对θ∈[-π，π]，f（θ）=g（θ）有两个不等实根，求m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：（1）首先将解析式变形，将对任意的θ∈[0，

π

2

]，若f（θ）≥g（θ）恒成立转为cosθ+

3

cosθ

-4≥m恒成立，只要求函数f（t）=t+

3

t

-4在（0，1]上的最小值；
（2）将θ∈[-π，π]，f（θ）=g（θ）有两个不等实根，转为cosθ=t，则f（t）=t+

3

t

-4在[-1，0），和（0，1]上有交点，利用其单调性求m的范围．

解答： 解：∵函数f（θ）=-sin²θ-4cosθ+4，g（θ）=m•cosθ
（1）对任意的θ∈[0，

π

2

]，若f（θ）≥g（θ）即cos²θ-4cosθ+3≥mcosθ，cosθ∈[0，1]，
∴cosθ+

3

cosθ

-4≥m，
∵设cosθ=t，则f（t）=t+

3

t

-4在（0，1]上是减函数，
∴函数f（t）=t+

3

t

-4在（0，1]上的最小值为f（1）=0，
∴对任意的θ∈[0，

π

2

]，若f（θ）≥g（θ）恒成立，m取值范围为m≤0；
（2）对θ∈[-π，π]，f（θ）=g（θ）有两个不等实根，即cos²θ-4cosθ+3=mcosθ有两个不等实根，cosθ∈[-1，1]，
∴cosθ=0问题不成立，∴两边同除以cosθ，得cosθ+

3

cosθ

-4=m有两个不等实根，
设cosθ=t，则f（t）=t+

3

t

-4在[-1，0），和（0，1]上有交点，并且此函数在两个区间上是减函数，
又函数f（t）=t+

3

t

-4在，（0，1]上的最小值为f（1）=0，在[-1，0）的最大值为-1，
∴要使对θ∈[-π，π]，f（θ）=g（θ）有两个不等实根的m 的范围为m≥1或者m≤-1．

点评：本题考查了三角函数的变形以及恒成立问题的解决办法，注意本题利用换元法将问题转为对勾函数的最值问题．