Question

19．在f₁（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$，f₂（x）=x²，f₃（x）=2^x，f₄（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x四个函数中，当x₁＞x₂＞1时，使$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立的函数是f₁（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$．

Answer 1

分析 根据题意，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）表示连接两点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的线段中点纵坐标小于f（x）在曲线AB中点（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$））的纵坐标，即f（x）的图象“上凸”，由此判断出结论即可．

解答 解：当x₁＞x₂＞1时，使$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），
表示连接两点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的线段中点纵坐标
小于f（x）在曲线AB中点（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$））的纵坐标，
也就是说f（x）的图象“上凸”的，
所以只需判断哪个函数的图象“上凸”即可；
由图形可直观得到：当x＞1时，B，C，D 的图象都不是上凸的，
只有f₁（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{x}$为“上凸”的函数．
故答案为：f₁（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$．

点评 本题考查了基本初等函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．