题目内容
9．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=a-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，直线l与曲线C交于M，N两点（点M在点N的上方）．（Ⅰ）若a=0，求M，N两点的极坐标；
（Ⅱ）若P（a，0），且$|PM|+|PN|=8+2\sqrt{3}$，求a的值．
分析 （Ⅰ）消去参数t，求得直线l的普通方程，根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程，联立方程组求出M、N的直角坐标方程，在转化为极坐标；
（Ⅱ）设M，N对应的参数分别为t1，t2，${t_1}+{t_2}=4a+2\sqrt{3}＞0$，${t_1}{t_2}=4{a^2}＞0$即可．
解答 解：（Ⅰ）∵$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）消去参数t，求得直线l的普通方程$\sqrt{3}x+y=0$
根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为x2=y，…（3分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=y\\ \sqrt{3}x+y=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{3}\\ y=3\end{array}\right.$
∴M，N两点的极坐标分别为$（2\sqrt{3}，\;\frac{2π}{3}）$、（0，0）…（6分）
（Ⅱ）点P（a，0）显然在直线l上，
把$\left\{\begin{array}{l}x=a-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（a≥0，t为参数）代入x2=y并化简，得${t^2}-（4a+2\sqrt{3}）t+4{a^2}=0$．
设M，N对应的参数分别为t1，t2，
∵a＞0
∴${t_1}+{t_2}=4a+2\sqrt{3}＞0$，${t_1}{t_2}=4{a^2}＞0$
∴t1＞0，t2＞0
∴$|PM|+|PN|={t_1}+{t_2}=4a+2\sqrt{3}=8+2\sqrt{3}$
∴a=2．…（12分）
点评 本题考查了极坐标方程、参数方程、普通方程的转化，及直线的参数方程中参数的含义，属于基础题．
阅读快车系列答案| A． | {5，7} | B． | {2，4} | C． | {2，4，8} | D． | {1，3，5，6，7} |
| A． | y=1 | B． | y=$\frac{（\sqrt{x}）^{2}}{x}$ | C． | y=$\frac{x}{x}$ | D． | y=$\frac{|x|+1}{|x|+1}$ |
一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，且该几何体的四个点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（0，0，0），（2，0，0），（0，2，0），则第五个顶点的坐标可能为（ ）| A． | （1，1，1） | B． | （1，1，$\sqrt{2}$） | C． | （1，1，$\sqrt{3}$） | D． | （2，2，$\sqrt{3}$） |
| A． | ￢p为：?x∈（1，+∞），2x-1-1≤0 | B． | ￢p为：?x∈（1，+∞），2x-1-1＜0 | ||
| C． | ￢p为：?x∈（-∞，1]，2x-1-1＞0 | D． | ￢p是假命题 |