Question

4．（1）已知椭圆经过点A（0，$\frac{5}{3}$）和B（1，1），求椭圆的标准方程．
（2）若抛物线y²=2px（p＞0）上的一点M 到焦点及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意设椭圆的标准方程为mx²+ny²=1，（其中m、n为正数且m≠n），代点可得m和n的方程组，解方程组可得；
（2）设点M的坐标为（x，±6），利用点M到焦点的距离为10，可得$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{p}{2}=10}\\{36=2px}\end{array}\right.$，求出p，即可求抛物线的方程．

解答 解：（1）由题意设椭圆的标准方程为mx²+ny²=1，（其中m、n为正数且m≠n），
∵椭圆经过点A（0，$\frac{5}{3}$）和B（1，1），∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{25}{9}n=1}\\{m+n=1}\end{array}\right.$，解方程组可得m=$\frac{16}{25}$，n=$\frac{9}{25}$，
∴所求椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{25}{16}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{25}{9}}$=1；
（2）∵点M到对称轴的距离为6，
∴设点M的坐标为（x，±6）．
∵点M到焦点的距离为10，∴$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{p}{2}=10}\\{36=2px}\end{array}\right.$
解得p=2或p=18，
所以抛物线方程是y²=4x 或y²=36x．

点评 本题考查椭圆、抛物线的标准方程的求解，设方程为mx²+ny²=1可避免分类讨论，是解决问题的关键，属中档题．