Question

8．设等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，若a₁=d=1，则$\frac{{{S_n}+8}}{a_n}$的最小值$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 求出等差数列的和与通项公式，然后化简表达式，利用基本不等式求解即可．

解答 解：等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，若a₁=d=1，
S_n=$\frac{1}{2}$（n²+n），a_n=n，
∴$\frac{{{S_n}+8}}{a_n}=\frac{{{n^2}+n+16}}{2n}=\frac{n}{2}+\frac{8}{n}+\frac{1}{2}≥4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$．当且仅当n=4时取等号．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查数列与不等式的应用，等差数列的通项公式以及求和是的应用，考查转化思想以及计算能力．