Question

9．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为$\frac{2}{3}$，它的表面积为$2+2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入锥体体积和表面积公式，可得答案．

解答 解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
其直观图如下图所示：

其底面ABC的面积为：$\frac{1}{2}$×2×2=2，
高VA=1，
故三棱锥的体积V=$\frac{2}{3}$，
AB=AC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
故侧面VAB和VAC的面积均为：$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×1$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
侧面VBC的高VD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
故侧面VBC的面积为：$\frac{1}{2}$×$2×\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，
故三棱锥的表面积为：$2+2\sqrt{5}$；
故答案为：$\frac{2}{3}$，$2+2\sqrt{5}$

点评 本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．