Question

4．已知不等式|x+3|-2x-1＜0的解集为（x₀，+∞）
（Ⅰ）求x₀的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=|x-m|+|x+$\frac{1}{m}$|-x₀（m＞0）有零点，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）不等式转化为$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-（x+3）-2x-1＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞-3}\\{x+3-2x-1＜0}\end{array}\right.$，解得x＞2，即可求x₀的值；
（Ⅱ）由题意，等价于|x-m|+|x+$\frac{1}{m}$|=2（m＞0）有解，结合基本不等式，即可求实数m的值．

解答 解：（Ⅰ）不等式转化为$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-（x+3）-2x-1＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞-3}\\{x+3-2x-1＜0}\end{array}\right.$，
解得x＞2，∴x₀=2；
（Ⅱ）由题意，等价于|x-m|+|x+$\frac{1}{m}$|=2（m＞0）有解，
∵|x-m|+|x+$\frac{1}{m}$|≥m+$\frac{1}{m}$，当且仅当（x-m）（x+$\frac{1}{m}$）≤0时取等号，
∵|x-m|+|x+$\frac{1}{m}$|=2（m＞0）有解，
∴m+$\frac{1}{m}$≤2，
∵m+$\frac{1}{m}$≥2，
∴m+$\frac{1}{m}$=2，∴m=1．

点评 本题考查不等式的解法，考查绝对值不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题．