Question

19．如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD=3DB，cosA=$\frac{4}{5}$，cos∠ACB=$\frac{5}{13}$，BC=13．
（1）求cosB的值；
（2）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，求出sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$．，sin∠ACB=$\frac{12}{13}$．
可得cosB=-cos（A+∠ACB）=sinAsin∠ACB-cosAcosB；
（2）在△ABC中，由正弦定理得，AB=$\frac{BC}{sinA}$sin∠ACB．
在△BCD中，由余弦定理得，CD=$\sqrt{B{D}^{2}+B{C}^{2}-2BD•BCcosB}$．

解答 解：（1）在△ABC中，cosA=$\frac{4}{5}$，A∈（0，π），
所以sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$．
同理可得，sin∠ACB=$\frac{12}{13}$．
所以cosB=cos[π-（A+∠ACB）]=-cos（A+∠ACB）
=sinAsin∠ACB-cosAcos∠ACB
=$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}-\frac{4}{5}×\frac{5}{13}=\frac{16}{65}$；
（2）在△ABC中，由正弦定理得，AB=$\frac{BC}{sinA}$sin∠ACB=$\frac{13}{\frac{3}{5}}×\frac{12}{13}=20$．
又AD=3DB，所以DB=$\frac{1}{4}AB=5$．
在△BCD中，由余弦定理得，CD=$\sqrt{B{D}^{2}+B{C}^{2}-2BD•BCcosB}$
=$\sqrt{{5}^{2}+1{3}^{2}-2×5×13×\frac{16}{65}}$=9$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正余弦定理、三角恒等变形，属于中档题．