Question

7．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图，其中前三段的频率成等比数列．
（Ⅰ）求图中实数a的值；
（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；
（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直方图及等比数列性质求出b=0.030，由此能求出a．
（Ⅱ）由频率分布直方图能求出成绩不低于80分的人数．
（Ⅲ）两个分数段的学生分别为2人和4人，从6人中选2人，共有m=${C}_{6}^{2}=15$种等可能性选法，两人成绩差的绝对值大于10的选法有n=${C}_{2}^{1}•{C}_{4}^{1}=8$种选法，由此能求出这两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率．

解答 解：（Ⅰ）∵频率分布直方图中前三段的频率成等比数列．
∴由直方图及题意得（10b）²=0.05×0.20，
解得b=0.030，
∴a=0.1-0.005-0.010-0.020-0.025-0.010=0.030．
（Ⅱ）成绩不低于80分的人数估计为640×（0.025+0.010）×10=224．
（Ⅲ）两个分数段的学生分别为2人和4人，
从6人中选2人，共有m=${C}_{6}^{2}=15$种等可能性选法，
两人成绩差的绝对值大于10的选法有n=${C}_{2}^{1}•{C}_{4}^{1}=8$种选法，
∴这两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率：
p=$\frac{m}{n}=\frac{8}{15}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．