Question

13．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB上一点．
（1）求BD和平面B₁CD所成的角；
（2）当E点为AB中点，求锐二面角E-B₁C-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD和平面B₁CD所成的角．
（2）求出平面EB₁C的法向量和平面B₁CD的法向量，利用向量法能求出锐二面角E-B₁C-D的余弦值．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则B（2，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），B₁（2，2，2），
$\overrightarrow{BD}$=（-2，-2，0），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（2，2，2），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
设平面B₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=2x+2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
设BD和平面B₁CD所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°，
∴BD和平面B₁CD所成的角为30°．
（2）E点为AB中点时，E（2，1，0），
$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（0，1，2），$\overrightarrow{EC}$=（-2，1，0），
设平面EB₁C的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{E{B}_{1}}=b+2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=-2a+b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，2，-1），
平面B₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴锐二面角E-B₁C-D的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面角的求法，考查锐二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．