Question

2．已知点A（0，-2），B（0，4），动点P（x，y）满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=y²-8．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹与直线y=x+2交于C，D两点，设C（ x₁，y₁），D（ x₂，y₂），计算 x₁ x₂，y₁ y₂的值；
（3）求证：OC⊥OD（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （1）把向量数量积转化为坐标表示即可得出动点P的轨迹方程；
（2）联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理得答案；
（3）利用向量的数量积为0，即可证明．

解答 解：（1）A（0，-2），B（0，4），
∵动点P（x，y）满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=y²-8，
∴（-x，-2-y）•（-x，4-y）=y²-8，
∴x²+y²-2y-8=y²-8，化为x²=2y．
∴动点P的轨迹方程为x²=2y；
（2）联立直线y=x+2与抛物线方程得x²-2x-4=0．
设C（ x₁，y₁），D（ x₂，y₂），则x₁+x₂=2，x₁x₂=-4，
∴y₁ y₂=（x₁+2）（x₂+2）=4；
（3）∵x₁x₂+y₁ y₂=0，∴OC⊥OD（O为坐标原点）．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，考查了轨迹方程，关键是利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．