Question

定义在实数集R上的函数f（x），对任意x，y∈R，有f（x-y）+f（x+y）=2f（x）f（y），且f（0）≠0．
求证：f（x）是偶函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：令x=y=0代入表达式，可得f（0）=1．再令x=0，y不变，即可获得f（-y）与f（y）之间的关系，从而获得函数的奇偶性．

解答： 证明：令x=y=0，则有f（0）+f（0）=2f（0）•f（0），
即2f（0）=2f（0）•f（0），
由于f（0）≠0，
即有f（0）=1．
令x=0，y=t，
则有f（t）+f（-t）=2f（0）f（t），
即有f（t）+f（-t）=2f（t），
即f（-t）=f（t），
即为f（-x）=f（x）．
故y=f（x）是偶函数．

点评：本题考查的是抽象函数及其应用类问题．在解答的过程当中充分体现了抽象表达式的应用能力、特值的问题处理技巧以及必要的计算能力．同时函数的奇偶性定义也在题目中得到了体现．值得同学们体会和反思．