Question

11．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+1，x≤2}\\{lnx，x＞2}\end{array}}\right.$，方程f（x）-ax=0恰有3个不同实根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{ln2}{2}，\frac{1}{e}）$
• B． $（0，\frac{1}{2}）$
• C． $（0，\frac{1}{e}）$
• D． $（\frac{1}{e}，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 作函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+1，x≤2}\\{lnx，x＞2}\end{array}}\right.$与y=ax的图象，从而利用数形结合的思想求解，求临界直线的斜率即可．

解答 解：作函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+1，x≤2}\\{lnx，x＞2}\end{array}}\right.$与y=ax的图象如下，
，
直线l是y=lnx的切线，设切点为（x，lnx），
故$\frac{lnx}{x}$=（lnx）′=$\frac{1}{x}$，
故x=e，
故k_l=$\frac{1}{e}$；
直线m过点（2，ln2），
故k_m=$\frac{ln2}{2}$；
结合图象可知，
实数a的取值范围是（$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$），
故选：A．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及导数的综合应用．