Question

14．已知两个不同集合A={1，3，a²-a+3}，B=（1，5，a³-a²-4a+7}，A∩B={1，3}．
（1）求实数a的值以及集合A和B；
（2）求满足A∩B?M?A∪B的集合M的子集的个数．

Answer 1

分析 （1）由A∩B={1，3}得：a³-a²-4a+7=3，解之得a=1，或a=-2或a=2．然后对a分类讨论得答案；
（2）确定集合M的个数为2，即可求满足A∩B?M?A∪B的集合M的子集的个数．

解答 解：（1）由A∩B={1，3}得：a³-a²-4a+7=3，解之得a=1，或a=-2或a=2．
①a=1时，a²-a+3=3，与集合中元素的互异性矛盾，所以a≠1．
②当a=-2时，a²-a+3=9，A={1，3，9}，B={1，3，5}，A∩B={1，3}与题意相符．
③当a=2时，a²-a+3=5，A={1，3，5}，B={1，3，5}，A∩B={1，3，5}与A∩B={1，3}矛盾，所以a≠2；
（2）A∩B={1，3}，A∪B={1，3，5，9}
∵A∩B?M?A∪B，
∴集合M的个数为2，
∴满足A∩B?M?A∪B的集合M的子集的个数是4．

点评 本题考查了交集及其运算，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．