Question

5．已知集合A={x|y=$\sqrt{{x}^{2}-4}$}，B={x|ax-2＞0}，若A∪B=A，求实数a的值所组成的集合．

Answer 1

分析 容易得到A={x|x≥2，或x≤-2}，而由A∪B=A得到B⊆A，从而可讨论a的符号：a=0，a＞0，和a＜0，对于每种情况可求出集合B，从而得到关于a的不等式，解出a的范围求并集便可得出实数a的值所组成的集合．

解答 解：解x²-4≥0得，x≥2，或x≤-2；
∴A={x|x≥2，或x≤-2}；
∵A∪B=A；
∴B⊆A；
①若a=0，B=∅，满足条件；
②若a＞0，则$B=\{x|x＞\frac{2}{a}\}$；
∴$\frac{2}{a}≥2$；
∴0＜a≤1；
③若a＜0，则$B=\{x|x＜\frac{2}{a}\}$；
∴$\frac{2}{a}≤-2$；
∴-1≤a＜0；
∴综上得，实数a的值所组成集合为[-1，1]．

点评 考查描述法表示集合的定义和表示形式，并集和子集的定义，以及分类讨论思想的运用．