Question

设函数f（x）=x²-ax+b（a、b为常数）．
（1）如果函数f（x）是区间[b-2，b]上的偶函数，求a、b的值；
（2）设函数g（x）=log₂x．
①判断g（x）在区间[1，4]上的单调性，并写出g（x）在区间[1，4]上的最小值和最大值；
②阅读下面题目及解法：
题目：对任意x∈[1，4]，2^x+m恒大于1，求实数m的取值范围．
解：设h（x）=2^x+m，则对任意x∈[1，4]，2^x+m恒大于1?当x∈[1，4]，h（x）_min＞1．
由h（x）在区间[1，4]上递增，知h（x）_min=h（1）=2+m＞1，所以m＞-1．
学习以上题目的解法，试解决下面问题：
当f（x）中的a=4时，若对任意x₁、x₂∈[1，4]，f（x₁）恒大于g（x₂），求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的最值及其几何意义,类比推理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据偶函数定义域关于原点对称，得到b-2+b=0求出b的值，又因为是偶函数，则a=0；
（2）①显然递增，据此求出最值；
②实际上是将不等式恒成立问题转化为函数的最值来解，因此只需利用单调性求出f（x₁）_min以及g（x₂）_max则问题可解．

解答： 解：（1）因为函数f（x）是区间[b-2，b]上的偶函数，所以b-2+b=0，所以b=1，由f（-x）=f（x）恒成立得-ax=ax恒成立，故a=0，所以a=0．b=1即为所求；
（2）①因为2＞1，所以对数函数y=log₂x在[1，4]上递增，所以y_min=log₂1=0，y_max=log₂4=2；
②a=4时，f（x）=x²-4x+b=（x-2）²+b-4，所以f（x）在[1，2]上递减，在[2，4]上递增，所以当x=2时，f（x）_min=b-4；由①知，g（x）_max=2．
而要使对任意x₁、x₂∈[1，4]，f（x₁）恒大于g（x₂），只需f（x₁）_min≥g（x₂）_max，即b-4≥2即可
解得b≥6即为所求．

点评：本题重点考查了利用单调性求最值得基本思想，以及恒成立问题转化为函数的最值来解的基本思路，要注意体会，多加练习．