Question

根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，焦距为10，双曲线上一点M与两焦点的距离的差的绝对值等于6；
（2）焦距为26，且经过点P（0，12）；
（3）焦点在x轴上，实轴长等于8，虚轴长等于2；
（4）焦点F₁，F₂在x轴上，|F₁F₂|=12，顶点A₁，A₂是线段F₁F₂的三等分点；
（5）离心率e=

5

，过点P（4，4

3

）．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，由已知得

2c=10 2a=6 a2+b2=c2

，由此能求出双曲线方程．
（2）设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1，a＞0，b＞0，由已知得

2c=26 a=12 c2=a2+b2

，由此能求出双曲线方程．
（3）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，由已知得

2a=8 2b=2

，由此能求出双曲线方程．
（4）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，由已知得

2c=12 2a=4 a2+b2=c2

，由此能求出双曲线方程．
（5）当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，由已知得

c a = 5 16 a2 - 48 b2 =1 a2+b2=c2

；当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1，a＞0，b＞0，由已知得

c a = 5 48 a2 - 16 b2 =1 a2+b2=c2

，由此能求出双曲线方程．

解答： 解：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，
∵焦点在x轴上，焦距为10，
双曲线上一点M与两焦点的距离的差的绝对值等于6，
∴

2c=10 2a=6 a2+b2=c2

，
解得a=3，b=4，
∴双曲线方程为

x2

9

-

y2

16

=1．
（2）由已知得双曲线焦点在y轴，设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1，a＞0，b＞0，
∵焦距为26，且经过点P（0，12），
∴

2c=26 a=12 c2=a2+b2

，
解得a=12，b=5，c=13，
∴双曲线方程为

y2

144

-

x2

25

=1．
（3）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，
∵焦点在x轴上，实轴长等于8，虚轴长等于2，
∴

2a=8 2b=2

，解得a=4，b=1，
∴双曲线方程为

x2

16

-y2=1．
（4）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，
∵焦点F₁，F₂在x轴上，|F₁F₂|=12，顶点A₁，A₂是线段F₁F₂的三等分点，
∴

2c=12 2a=4 a2+b2=c2

，解得a=2，c=6，b²=36-4=32，
∴椭圆方程为

x2

4

-

y2

32

=1．
（5）当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，
∵离心率e=

5

，过点P（4，4

3

），
∴

c a = 5 16 a2 - 48 b2 =1 a2+b2=c2

，
解得a=2，b=4，
∴双曲线方程为

x2

4

-

y2

16

=1．
当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1，a＞0，b＞0，
∵离心率e=

5

，过点P（4，4

3

），
∴

c a = 5 48 a2 - 16 b2 =1 a2+b2=c2

，
解得a²=44，b²=176，
∴双曲线方程为

x2

44

-

y2

176

=1．
综上，双曲线方程为

x2

4

-

y2

16

=1，或

x2

44

-

y2

176

=1．

点评：本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要注意双曲线性质的合理运用．