Question

17．若函数y=f（x）在区间I上是增函数，且函数$y=\frac{f（x）}{x}$在区间I上是减函数，则称函数f（x）是区间I上的“H函数”．对于命题：①函数$f（x）=-x+2\sqrt{x}$是（0，1）上的“H函数”；②函数$g（x）=\frac{2x}{{1-{x^2}}}$是（0，1）上的“H函数”．下列判断正确的是（　　）

• A． ①和②均为真命题
• B． ①为真命题，②为假命题
• C． ①为假命题，②为真命题
• D． ①和②均为假命题

Answer 1

分析 对函数$f（x）=-x+2\sqrt{x}$，G（x）=$\frac{-x+2\sqrt{x}}{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}-1$在（0，1）上的单调性进行判断，得命题①是真命题．对函数$g（x）=\frac{2x}{{1-{x^2}}}$=$\frac{2}{\frac{1}{x}-x}$，H（x）=$\frac{g（x）}{x}=\frac{1}{1-{x}^{2}}$在（0，1）上单调性进行判断，得命题②是假命题．

解答 解：对于命题①：令t=$\sqrt{x}$，函数$f（x）=-x+2\sqrt{x}$=-t²+2t，∵t=$\sqrt{x}$在（0，1）上是增函数，
函数y=-t²+2t在（0，1）上是增函数，∴在（0，1）上是增函数；
G（x）=$\frac{-x+2\sqrt{x}}{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}-1$在（0，1）上是减函数，
∴函数$f（x）=-x+2\sqrt{x}$是（0，1）上的“H函数“，故命题①是真命题．
对于命题②，函数$g（x）=\frac{2x}{{1-{x^2}}}$=$\frac{2}{\frac{1}{x}-x}$是（0，1）上的增函数，H（x）=$\frac{g（x）}{x}=\frac{1}{1-{x}^{2}}$是（0，1）上的增函数，故命题②是假命题；
故选：B．

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到了函数的单调性，属于中档题．